Question

如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．

（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）

（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．

Answer

（1）结论①、②成立；（2）结论①、②仍然成立．理由见解析；（3）四边形MNPQ是正方形．

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质证明△DEC≌△AFD即可知道结论成立．

（2）由已知得四边形ABCD为正方形，证明Rt△ADF≌Rt△ECD，然后推出∠ADE+∠DAF=90°；进而得出AF⊥DE；

（3）首先根据题意证明四边形MNPQ是菱形，然后又因为AF⊥DE，得出四边形MNPQ为正方形．

试题解析：（1）∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE，

∴△DEC≌△AFD；

∴结论①、②成立

（2）结论①、②仍然成立．理由为：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，

在Rt△ADF和Rt△ECD中

，

∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），

∴AF=DE，

∴∠DAF=∠CDE，

∵∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠ADE+∠DAF=90°，

∴∠AGD=90°，

∴AF⊥DE；

（3）结论：四边形MNPQ是正方形

证明：∵AM=ME，AQ=QD，

∴MQ∥DE且MQ=DE，

同理可证：PN∥DE，PN=DE；MN∥AF，MN=AF；PQ∥AF，PQ=AF；

∵AF=DE，

∴MN=NP=PQ=QM，

∴四边形MNPQ是菱形，

又∵AF⊥DE，

∴∠MQP=90°，

∴四边形MNPQ是正方形．

考点：1.正方形的性质；2.直角三角形全等的判定；3.正方形的判定．