Question

矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．

图1                         图2

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．

① 求证：△OCP∽△PDA；② 若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．

（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．

Answer

（1）证明略，（2）线段EF的长度不变化，.

【解析】

试题分析：（1）由折叠可得∠APO=∠B=90°，利用同角的余角相等即可证明，有面积比可知相似比

在Rt△PCO中应用勾股定理即可求出AB；

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．证明出EQ=PQ，QF=QB即可求出EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，

再有勾股定理求出PB即可求出BF.

试题解析：（1）① 如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°．

∴∠1+∠3=90°． ∵由折叠可得∠APO=∠B=90°， ∴∠1+∠2=90°．∴∠2=∠3．

又∵∠D=∠C， ∴△OCP∽△PDA．

② 如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4， ∴． ∴CP=AD=4．

设OP=x，则CO=8－x．在Rt△PCO中，∠C=90°， 由勾股定理得 x2=(8－x)2+42．

解得：x=5． ∴AB=AP=2OP=10． ∴边AB的长为10．

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2． ∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ．又BN=PM， ∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ， ∴EQ=PQ．

∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．又∵∠QFM=∠NFB， ∴△MFQ≌△NFB．∴QF=QB．

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．

由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．

∴PB=， ∴EF=PB=．

∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为．

考点：轴对称的性质，勾股定理，矩形的性质.