Question

在△ABC中，∠A=30°，AB=2，将△ABC绕点B顺时针旋转（0°<<90°），得到△DBE，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，连接BF.

（1）如图1，若=60°，线段BA绕点B旋转得到线段BD.请补全△DBE，并直接写出∠AFB的度数；

（2）如图2，若=90°，求∠AFB的度数和BF的长；

（3）如图3，若旋转（0°<<90°），请直接写出∠AFB的度数及BF的长（用含 的代数式表示）.

Answer

（1）∠AFB=60°; （2）BF=；（3）∠AFB=90°-，BF=

【解析】

试题分析：（1）先根据旋转的性质找到C的对应点E连接即可，求∠AFB时，易证AF是DB的垂直平分线，又∠BDF=∠A=30°，所以可求出∠AFB=60°；

（2）利用相似可以判断∠AFD=∠ABD=90°所以A、B、F、D在以AB为直径的圆上，再利用同弧对的圆周角相等即可求出∠AFB，最后在△ABF中利用勾股定理求出BF.

（3）有旋转可知∠A=∠BDE=30°,所以点A、B、D、F四点公圆，再有同弧对的圆周角相等可得：

∠AFB=∠ADB, 在△ABD中，∠ABD=,AB=AD,所以∠ADB=90°-；过B作AF，先在△ABN中求出BN,再在△FBN中求出BF即可.

试题解析：（1）补全图形如图所示，∠AFB=60°；

（2）【解析】
连接AD，∵∠BAC=∠BDE=30°∠1=∠2

∴∠AFD=∠ABD=90°

∴A、B、F、D在以AB为直径的圆上，

∴∠AFB=∠ADB=45°

在△ABF中，∠FAB=30°，∠AFB=45°，AB=，

可解得BF=

（3）∠AFB=90°-； BF=

考点：四点共圆，三角函数，勾股定理.