Question

对于点E和四边形ABCD，给出如下定义：在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，则称E为四边形ABCD边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们称E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．

如图1，在四边形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上， 点E是AB边上一点，∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD边AB上的相似点，并证明你的结论正确；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3.

①在AB边上是否存在点E，使点E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．若存在，有几个？试在图2中画出所有强相似点；

②在①所画图形的基础上求AE的长.

Answer

（1）是，证明略；（2）4

【解析】

试题分析：（1）观察图形可知∠A=∠B=∠DEC=45°，又根据三角形的内角和可知∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°，可以得到∠ADE=∠CEB即可证明△ADE∽△BCE得到E是四边形ABCD边AB上的相似点．；

（2）矩形的强相似点需要满足以E为顶点的角是直角，所以利用圆周角定理画以CD为直径的园交AB的点就是所求的点，利用相似可以求出AE的长度.

试题解析：（1）∵∠A=∠B=∠DEC=45°，

∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°

∴∠ADE=∠CEB，

∴△ADE∽△BCE，

∴点E是四边形ABCD边AB上的相似点．

（2）①如图：强相似点有两个，点E’,E’’即是四边形ABCD边AB上的两个强相似点.

②设AE’=x,则BE’=8-x,∵△AD E’∽△BC E’，

∴，解得 ∴AE的长为4

考点：相似的性质及判定.