Question

（10分 ）如图，已知抛物线与轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与轴交于点C（0，3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若为对称轴上的点，且的面积是4，求点的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D，在第一象限的抛物线上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；

（2） ；

（3）存在..

【解析】

试题分析：（1）已知三点的坐标，用待定系数法求得二次函数解析式；

（2）求出抛物线的对称轴，即可得到点M的横坐标，根据△MAB的面积求得点M到x轴的距离，得到点M的纵坐标；

（3）分情况讨论，若以CD为底边，则ND＝NC，设N点坐标为(x,y)，根据勾股定理和抛物线解析式得到关于x、y的等式，求得x和y的值；若以CD为一腰，根据抛物线的对称性求得点N的坐标.

试题解析：【解析】
（1）设抛物线的解析式为，

由题意得：，解得：，

因此抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；

（2）由（1）的抛物线的解析式可知：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

因此抛物线的对称轴为：直线x=1；

设点M到x轴的距离为h，

由题意得AB=4，

所以，解得：h=2，

因为点M在抛物线的对称轴上，所以点M的坐标为（1，2）或（1，-2）.

（3）存在.

由y=-x2+2x+3得，D点的坐标为（1，4），对称轴为x＝1.

若以CD为底边，则ND＝NC，设N点坐标为(x,y)，

根据勾股定理，得，即y＝4－x，

又N点(x，y)在抛物线上，∴ ，

解得，

∴，或，

即点N坐标为或 .

②若以CD为一腰，因为点N在第一象限的抛物线上，由抛物线对称性知，点N与点C关于直线x＝1对称，此时点N坐标为（2，3）.

∴符合条件的点N坐标为或 或（2，3）.

考点：1、待定系数法求二次函数解析式；2、二次函数的综合应用.