Question

（本题满分12分）如图，已知抛物线经过点B（－1，0）、C（3，0），交y轴于点A，

（1）求此抛物线的解析式；

（2）抛物线第一象限上有一动点M，过点M作MN⊥轴，垂足为N，请求出的最大值，及此时点M坐标；

（3）抛物线顶点为K，KI⊥x轴于I点，一块三角板直角顶点P在线段KI上滑动，且一直角边过A点，另一直角边与x轴交于Q（m，0），请求出实数m的变化范围，并说明理由．

Answer

(1) y=－x2+2x+3;(2)(2,3);(3)

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx+3经过点B（－1,0）、C（3,0）,可得方程组，解得，a,b

从而求出抛物线的解析式；(2) 第一象限上有一动点M(x, －x2+2x+3), MN⊥轴,根据列出关于x函数关系式，根据二次函数的性质求出m的坐标即可.(3) 过A作AR⊥KI于R点，则AR=KR =1.

当Q在KI左侧时，△ARP∽△PIQ.设PI=n，则RP=3－n，，即n2－3n－m＋1=0,解出方程;

当Q在KI右侧时，Rt△APQ中，AR =RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5即可.

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（－1,0）、C（3,0）,

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y=－x2+2x+3.

（2）.

∴最大值为7，点M坐标为(2,3)

（3）过A作AR⊥KI于R点，则AR=KR =1

当Q在KI左侧时，△ARP∽△PIQ.

设PI=n，则RP=3－n，

∴，即n2－3n－m＋1=0，

∵关于n的方程有解，△=（－3）2－4（－m＋1）≥0，

得m≥

当Q在KI右侧时，Rt△APQ中，AR =RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5.

即P为点K时，∴m≤5

综上所述，m的变化范围为：

考点：二次函数的综合应用