Question

（本题满分12分）问题提出：平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点(任意三点均不在同一直线上），能否在同一个圆呢？

初步思考：设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O． 

⑴当C、D在线段AB的同侧时，

如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB＝∠ADB，理由是            ；

如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB    ∠ADB；

如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB    ∠ADB．（填“＝”、“＞”或“＜”）；

由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：              ．

类比学习：（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．

如图④，此时有              ，       

如图⑤，此时有              ，

如图⑥，此时有              ．

由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：

                                                                   ．    

拓展延伸：（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．

求作：CN⊥AB．

作法：①连接CA， CB；

②在上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；

③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；

④连接F、E并延长，交直径AB于M；

⑤连接D、M并延长，交⊙O于N．连接CN． 则CN⊥AB．

请按上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）

Answer

（1）同弧所对的圆周角相等； ∠ACB＜∠ADB； ∠ACB＞∠ADB；（2）∠ACB＋∠ADB＝180°；∠ACB＋∠ADB＞180°；∠ACB＋∠ADB＜180；若四点组成的四边形对角互补，则这四点在同一个圆上;（3）根据（2）中的结论可判断其正确.

【解析】

试题分析：(1)根据圆周角定理，结合图形回答即可；（2）结合图形，根据圆内接四边形的性质可得出结论, 若四点组成的四边形对角互补，则这四点在同一个圆上；(3)根据作图步骤可判断正确.

试题解析：（1）同弧所对的圆周角相等． ∠ACB＜∠ADB， ∠ACB＞∠ADB．

答案不惟一，如：∠ACB＝∠ADB．

（2）如图：

此时∠ACB＋∠ADB＝180°, 此时∠ACB＋∠ADB＞180°, 此时∠ACB＋∠ADB＜180

若四点组成的四边形对角互补，则这四点在同一个圆上．

（3）作图正确．

∵AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，

∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°．

∴点E是△ABF三条高的交点．∴FM⊥AB．

∴∠EMB＝90°．∠EMB＋∠EDB＝180°，

∴点E，M，B，D在同一个圆上．

∴∠EMD＝∠DBE．

又∵点N，C，B，D在⊙O上，∴∠DBE＝∠CND，∠EMD＝∠CND．

∴FM∥CN．∴∠CPB＝∠EMB＝90°．∴CN⊥AB．

考点：1.圆周角定理及推论；2.圆内接四边形的性质