Question

（本题满分10分）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：

温度/℃	……	－4	－2	0	2	4	4.5	……
植物每天高度增长量/mm	……	41	49	49	41	25	19.75	……

由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．

（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；

（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？

（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．

Answer

（1），理由略；（2）－1℃；（3）﹣6℃＜x＜4℃．

【解析】

试题分析：（1）选择二次函数，设y=ax2+bx+c（a≠0），然后选择x=﹣2、0、2三组数据，利用待定系数法求二次函数解析式即可，再根据反比例函数的自变量x不能为0，一次函数的特点排除另两种函数；

（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答；

（3）求出平均每天的高度增长量为25mm，然后根据y=25求出x的值，再根据二次函数的性质写出x的取值范围．

试题解析：（1）选择二次函数，设，得，解得

∴关于的函数关系式是．

不选另外两个函数的理由：

注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以不是的反比例函数；点（－4，41），

（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以不是的一次函数．

（2）由（1），得，∴，

∵，∴当时，有最大值为50．

即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大．

（3）∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，

∴平均每天该植物高度增长量超过25mm，

当y=25时，﹣x2﹣2x+49=25，整理得，x2+2x﹣24=0，解得x1=﹣6，x2=4，

∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，实验室的温度应保持在﹣6℃＜x＜4℃．

考点：1.利用待定系数法求二次函数解析式;2. 二次函数的性质.