Question

如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线 ，A是切点，BP与⊙O交于点C. 若点D是AP中点，试证明直线CD是⊙O的切线.

Answer

证明见解析.

【解析】

试题分析：连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD=AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD=∠OAD=90°，从而解决问题．

试题解析：如图，连接OC、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，又∵∠ACP=180°-∠BCA=90°．

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴CD=AP=AD．

∴∠4=∠3．

又∵OC=OA，

∴∠1=∠2．

∵∠2+∠4=∠PAB=90°，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．

即OC⊥CD．

∴直线CD是⊙O的切线．

考点：切线的判定与性质