Question

如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．

（1）求∠EBC的度数；

（2）求证：BD=CD．

Answer

（1）22.5°．（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)首先由圆周角定理、三角形内角和定理求得∠ABE=45°；其次由等腰△ABC的性质．三角形内角和定理求得∠ABC=67.5°；最后，由图形知∠EBC=∠ABC-∠ABE=67.5°-45°=22.5°．

(2) 连接AD，易得证BD=CD．

试题解析：(1) ∵AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，

∴∠AEB=90°．

∵∠BAC=45°，

∴∠ABE=45°．

又∵在△ABC中，AB=AC，

∴∠ABC=∠C，∠ABC+∠C=180°-45°=135°，

∴∠ABC=67.5°，

∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=67.5°-45°=22.5°，即∠EBC的度数是22.5°．

(2) 连接AD，AB是直径，

则AD⊥BC，

又∵△ABC是等腰三角形，

故点D是BC的中点，即BD=CD，

考点：1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质．