Question

（12分）如图，在中，，，，动点（与点不重合）在边上，交于点．

（1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长；

（2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长；

（3）试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长．

Answer

（1）CE＝；

（2）CE的长为；

（3）在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，此时EF＝或EF＝

【解析】

试题分析：（1）因为EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题；

（2）根据周长相等，建立等量关系，列方程解答；

（3）先画出图形，根据图形猜想P点可能的位置，再找到相似三角形，依据相似三角形的性质解答．

试题解析：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等

∴S△ECF:S△ACB＝1:2

又∵EF∥AB ∴△ECF∽△ACB.

且AC＝4

∴CE＝；

（2）设CE的长为x

∵△ECF∽△ACB ∴ ∴CF=.

由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，得

解得

∴CE的长为；

（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：

①如图1，假设∠PEF＝90°，EP＝EF

由AB＝5，BC＝3，AC＝4，得∠C＝90°

∴Rt△ACB斜边AB上高CD＝

设EP＝EF＝x，由△ECF∽△ACB，得

，即，

解得，即EF＝，

当∠EFP´＝90°，EF＝FP´时，同理可得EF＝.

②如图2，假设∠EPF＝90°，PE＝PF时，点P到EF的距离为。

设EF＝x，由△ECF∽△ACB，得

，即，

解得，即EF＝，

综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，

此时EF＝或EF＝.

考点：相似三角形的判定与性质．