Question

如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．请探究：

（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由．

（2）若设，，当取何值时，最大？

（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？

Answer

（1）理由见解析；

（2）当时，有最大值为；

（3）当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE

【解析】

试题分析：（1）AE=CG，要证结论，必证△ABE≌△CBG，由正方形的性质很快确定∠3=∠4，又AB=BC，BE=BG，符合SAS即证．

（2）先证△ABE∽△DEH，所以，即可求出函数解析式y=-x2+x，继而求出最值．

（3）要使△BEH∽△BAE，需，又因为△ABE∽△DEH，所以，即，所以当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE．

试题解析：（1）理由：

正方形ABCD和正方形BEFG中

∴

又

∴△ABE≌△CBG

∴ ；

（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG

∴

∴

∴

又∵

∴△ABE∽△DEH

∴

∴

∴

当时，有最大值为；

（3）当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE

理由：∵ E是AD中点

∴

∴

又∵△ABE∽△DEH

∴

又∵

∴

又

∴ △BEH∽△BAE

考点：1.二次函数的综合应用2.正方形的性质3.相似三角形的判定