Question

（本题满分12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG .

求证：（1）BG＝CF；

（2）DG=CF

Answer

详见解析.

【解析】

试题分析：（1）由题意证得：∠BCG＝∠CAF＝45°，∠CBG＝∠ACF，AC＝BC，根据全等三角形的判定得△BCG≌△CAF，利用全等三角形的性质得BG＝CF；

（2）连接AG，证得点G在线段AB的垂直平分线上，得到BG=AG，进而证得AG＝DG，由BG=CF，得到DG＝CF.

试题解析：证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，

∴∠BCG＝∠CAF＝45°，

∵∠CBG＝∠ACF，AC＝BC，

∴△BCG≌△CAF，

∴BG＝CF；

(2)连接AG，

∵AC＝BC，CG平分∠ACB，

∴点G在线段AB的垂直平分线上，

∴BG=AG，∠GBA＝∠GAB，

∵AD⊥AB，

∴∠D＝＝∠GAD，

∴AG＝DG，

∵由（1）BG=CF，

∴DG＝CF.

考点：1、全等三角形的判定和性质；2、线段的垂直平分线的性质.