Question

（本题满分10分）已知：如图1，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数的图像交于点C，点C的横坐标为－3．

（1） 求点B的坐标；

（2） 若点Q为直线OC上一点，且，求点Q的坐标；

（3） 如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD＝∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．

① 在图2中，只利用圆规作图找到点P的位置；

（保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．）

② 求点P的坐标．

Answer

（1）B (0，5)；（2）Q（－12，8）或 Q（6，－4）；（3）①作图见试题解析；②P(，0)或(，0)．

【解析】

试题分析：（1）由C在函数的图像上，点C的横坐标为－3，得到C(－3，2)，由一次函数过点C，可求出一次函数为：，在中，令x=0，即可求得B (0，5)；

（2）因为点Q为直线OC上一点，且，有两种情况：①若Q在线段OC的延长线上，则，得到OQ=4OC，设Q（，）（），则，解出m的值，得到Q（－12，8）；

②若Q在线段CO的延长线上，则，得到OQ=2OC，设Q（，）（），则，解出m的值，求得Q（6，－4）；

（3）①点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等，∴作∠OCD的角平分线交x轴负半轴于点P或作∠ACF的角平分线交x轴负半轴于点P′；

②作∠OCD的角平分线交x轴负半轴于点P，在中，令，得：，得到A (－5，0)和 OA=5，由两点间距离公式得到AC=，由∠AOC=∠ACD，∠DCP=∠PCO，得到∠ACP=∠APC，故AP=AC=，得到OP=，有P（，0）；

若作∠ACF的角平分线交x轴负半轴于点P′，由∠P′CF=∠P′CD，得到∠AOC+∠CP′O=∠P′CA+∠ACD，从而有∠CP′O=∠P′CA，故P′A=AC=，得到P′O=，有P′（，0）．

试题解析：（1）∵C在函数的图像上，点C的横坐标为－3，∴，∴C(－3，2)，∵一次函数过点C，∴，∴，∴一次函数为：，在中，令x=0，得：，∴B (0，5)；

（2）∵点Q为直线OC上一点，且，有两种情况：

①若Q在线段OC的延长线上，则，∴OQ=4OC，设Q（，）（），则，解得：，∵，∴，∴，∴Q（－12，8）；

②若Q在线段CO的延长线上，则，∴OQ=2OC，设Q（，）（），则，解得：，∵，∴，∴，∴Q（6，－4）；

∴Q（－12，8）或 Q（6，－4）；

（3）①作∠OCD的角平分线交x轴负半轴于点P或作∠ACF的角平分线交x轴负半轴于点P′；

②作∠OCD的角平分线交x轴负半轴于点P，在中，令，得：，∴A (－5，0)，∴OA=5，AC=，∵∠AOC=∠ACD，∠DCP=∠PCO，∴∠ACD+∠DCP=∠PCO+∠AOC，即：∠ACP=∠APC，∴AP=AC=，∴OP=，∴P（，0）；

若作∠ACF的角平分线交x轴负半轴于点P′，∵∠P′CF=∠P′CD，∴∠AOC+∠CP′O=∠P′CA+∠ACD，∵∠ACD＝∠AOC，∴∠CP′O=∠P′CA，∴P′A=AC=，∴P′O=，∴P′（，0）；

∴P(，0)或(，0)．

考点：一次函数综合题．