Question

（本题满分9分）已知：如图1，△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15．将线段AB沿过点A的直线翻折，使得点B的对应点E恰好落在BC边上，折痕与BC边相交于点D，如图2所示．

（1） 求线段DE的长；

（2） 在图2中，若点P为线段AC上一点，且△AEP为等腰三角形，求AP的长．

小李在解决第（2）小题时的过程如下：

① 当EA＝EP时，显然不存在；当AE＝AP时，则AP＝__________；（需填空）

② 对于“当PA＝PE时的情形”，小李在解决时遇到了困难．小明老师对小李说：对于这个“直线形”图形直接解决困难时，我们可以建立平面直角坐标系，用一次函数的知识解决．如以点D为坐标原点，BC所在直线为x轴，然后求出AE中垂线的直线解析式，然后求出点P的坐标，最后用勾股定理求出AP的长……

请根据小明老师的提示完成第（2）题中②的求解，你也可以用自己的方法求出AP的长．

Answer

（1）5；（2）①13；②．

【解析】

试题分析：（1）设BD=x，则DE=x，CD=14-x，由，即可解出x的值，从而得到DE；

（2）①AP=AE=AB=13；

②以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，由（1）得AD=12，CD=9，DE=BD=5，得到E(5，0)，C(9，0)，A(0，12)．设直线AE为，把E(5，0)， A(0，12)代入，求出直线AE的解析式为；同样可求直线AC的解析式为，再求线段AE的中点M（x，y）的坐标，由于直线PM垂直平分线段AE，故可设直线PM为：，把M(2.5，6)代入即可求出直线PM为，因为P为直线PM和直线AC的交点，联立解方程组可得P（，），根据两点间距离公式即可算出AP的长．

试题解析：（1）设BD=x，则DE=x，CD=14-x，∴，即：，解得：，∴DE=5；

（2）①AP=AE=AB=13；

②以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，由（1）得AD=12，CD=9，DE=BD=5，∴E(5，0)，C(9，0)，A(0，12)．设直线AE为，把E(5，0)， A(0，12)代入得：，解得：，∴直线AE为：；同样可求直线AC的解析式为：，设线段AE的中点M（x，y），则，，∴M(2.5，6)，∵直线PM垂直平分线段AE，∴设直线PM为：，把M(2.5，6)代入得：，解得：，∴直线PM为：，P为直线PM和直线AC的交点，∴，解得：，∴P（，），∴AP==．

考点：1．一次函数的综合运用；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理．