Question

（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足为E．

（1）求证：BE＝DE．

（2）若四边形ABCD的面积为9，求BE的长

Answer

（1）证明见试题解析；（2）3．

【解析】

试题分析：（1）作CF⊥BE，垂足为F，得出矩形CFED，求出∠CBF=∠A，根据AAS证△BAE≌△CBF，推出BE=CF即可；

（2）设BE=x，AE=y，则CF=ED=x，BF=y，CD=FE=x-y，四边形ABCD的面积=△ABE面积+△BFC面积+矩形EFCD面积，求出x的值，即可得到BE的值．

试题解析：（1）作CF⊥BE，垂足为F，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠FED=∠D=∠CFE=90°，∴四边形EFCD为矩形，∴DE=CF，∵∠FED=∠D=∠CFE=90°，∠CBE+∠ABE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△BAE和△CBF中，∵∠BEA=∠CFB，∠A=∠CBF，AB=BC，∴△BAE≌△CBF（AAS），∴BE=CF=DE，即BE=DE；

（2）设BE=x，AE=y，则CF=ED=x，BF=y，CD=FE=x-y，四边形ABCD的面积=△ABE面积+△BFC面积+矩形EFCD面积，∴，∴，∴BE=3．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．矩形的判定与性质．