Question

如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，3）为圆心、5为半径的圆与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C、D（点C在点D的上方），经过B、C两点的抛物线的顶点E在第二象限．

（1）求点A、B两点的坐标．

（2）当抛物线的对称轴与⊙M相切时, 求此时抛物线的解析式．

（3）连结AE、AC、CE，若．①求点E坐标；②在直线BC上是否存在点P，使得以点B、M、

P为顶点的三角形和△ACE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（－4,0）；B（4,0）；（2）；（3）E；P．

【解析】

试题分析：（1）连接AM，根据题意得出AM=5，OM=3，则OA=0B=4，求出点坐标；（2）设出函数解析式，根据题意得c=8，将点B的坐标代入找出b和a的关系式，求出直线的对称轴；根据切线的性质得出对称轴为x=－5，求出a和b的值；（3）根据∠ACO和∠CAE的正切值得出两个角相等，根据点A在对称轴上，则可得出对对称轴为直线x=－4，求出a的值，然后求出顶点坐标．

试题解析：（1）连结M A，由题意得：AM=5，OM=3，则OA=4，同理得OB=4，

∴点A、点B的坐标分别是（-4，0）（4，0）

（2）设经过B、C两点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

∴c=8,0=16a+4b+8，∴b=-4a-2； 此时，y=ax2+（-4a-2）x+8（a≠0），

它的对称轴是直线：x==；

又∵抛物线的顶点E在第二象限且该抛物线的对称轴与⊙M相切，

则=-5，∴a=，b=，

∴抛物线的解析式为

（3）①在Rt△AOC中 tan∠ACO=，而tan∠CAE=

∴∠CAE=∠ACO，所以AE∥CO，即点A在抛物线的对称轴上

又∵y=ax2+（-4a-2）x+8，∴，∴a=；∴

∴E

②在直线BC上存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似，点P的坐标为

考点：二次函数的性质、圆的性质．