Question

有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．

（1）请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；

（2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；

（3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px＋qy＝360，求每种平面镶嵌中p、q的值．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）p＝3，q＝2；p＝4，q＝1或p＝2，q＝2．

【解析】

试题分析：（1）根据题意画出表格，求出所有的结果；（2）根据密铺找出符合条件的几种情况，然后计算概率；（3）本题根据密铺的性质分正方形和正三角形密铺以及正三角形和正六边形密铺两种情况进行计算．

试题解析：（1）所有出现的结果共有如下12种：

第一次/第二次

A

B

C

D

A

BA

CA

DA

B

AB

CB

DB

C

AC

BC

DC

D

AD

BD

CD

（2）因为12种结果中能构成平面镶嵌的有4种：AB，BA，AD，DA

所以P（两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌）＝＝．

（3）当正三角形和正方形构成平面镶嵌时，则有60p＋90q＝360，即2p＋3q＝12．

因为p、q是正整数， 所以p＝3，q＝2，

当正三角形和六边形构成平面镶嵌时， 则有60p＋120q＝360，即p＋2q＝6．

因为p、q是正整数， 所以p＝4，q＝1或p＝2，q＝2．

考点：概率的计算、平面镶嵌问题．