Question

（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），直线l与x轴正半轴夹角为30°，点B为直线l上的一个动点，延长AB至点C，使得AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D，交直线l于点F，过点A作AE∥l交直线CD于点E．

（1）若点B的横坐标为6，则点C的坐标为（______，_____），DE的长为        ；

（2）若点B的横坐标大于3，则线段CF的长度是否发生改变？若不变，请求出线段CF的长度；若改变，请说明理由；

（3）连结BE，在点B的运动过程中，以OB为直径的⊙P与△ABE某一边所在的直线相切，请求出所有满足条件的DE的长．

Answer

（1）C（9，） , DE=；（2）见解析；（3）DE的长为或或

【解析】

试题分析：（1）根据题意求出点C的坐标及DE的长度；（2）过点A作AM⊥x轴于M，根据tan∠BOA的值求出AM的长度，然后证明△ABM和△CBF全等，从而得出CG=AM；（3）本题需要分三种情况进行分类计算，首先分别画出图形，然后分别进行计算.

试题解析：（1）C（9，） , DE=;

（2）如图（1），过点A作AM⊥x轴于M ，∴∠OAM=90°, ∠BOA=30°, ∴AM=OAtan∠BOA=．

∵B为AC的中点， ∴AB=BC 又∵AM∥CF, ∴∠AMB=∠CFB ，∠MAB=∠FCB,

∴△ABM≌△CBF ∴CF=AM=． ∴线段CF的长度保持不变．

（3）如图1，过点B作BG⊥x轴于点G．易证， OB=2BG ,CD=2BG,

∴OB=CD．

（Ⅰ）当点D在点A的右侧时，⊙P只能与BE相切，如图2．

设DE=, 则OB=CD=． ∵⊙P与BE相切于点B，

∴OB⊥BE． 易得BF=EF=．

∴OF=OB+BF=． ∴OF=2DF, ∴=．

解得． ∴ DE=．

（Ⅱ）当点D在线段OA上时，①若⊙P与直线AE相切，如图3，

易得，直线l与AE的距离是．

∴ OB=3． ∴ CD=3． ∴DE=2CF-CD=．

②当⊙P与AB相切，如图4．

∴∠OBA=90°．

∴OB=OAtan∠OBA=.

∴CD=.

∴ DE=2CF-CD==．

（Ⅲ）当点D在点O的左侧时，⊙P只能与直线AE相切，如图5

∵ 直线l与AE的距离是，

∴ OB=3．∴ CD=3． ∴ DE=2CF+CD=．

综上所述，DE的长为或或 ．

考点：三角形全等的判定、直线与圆的位置关系.