Question

（本题10分）如图所示,△ABC中,∠BAC=90⁰,AB=AC=1,点D是BC上一个动点（不与B.C重合）,在AC上取点E,使∠ADE=45⁰.

（1）求证:△ABD∽△DEC.

（2）设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式。

（3当△ADE是等腰三角形时，求AE的长。

Answer

（1）见解析；（2）y=+1；（3）AE=2－或.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角可得∠ABC=∠ACB=45°，根据∠ADE=45°可得：∠BDA+∠CDE=135°

∠BDA+∠BAD=135°，∴∠BAD=∠CDE，从而得出△ABD∽△DCE；（2）根据△ABD∽△DCE，设BD=x，则CD=BC－BD=﹣x，根据求出CE的长度，然后根据AE=AC－CE求出函数关系式；（3）本题需要分AD=DE和ED=EA两种情况进行求解.

试题解析：（1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，∴∠ABC=∠ACB=45°．

∵∠ADE=45°，∴∠BDA+∠CDE=135°．又∠BDA+∠BAD=135°， ∴∠BAD=∠CDE． ∴△ABD∽△DCE．

（2）【解析】
∵△ABD∽△DCE， ∴； ∵BD=x， ∴CD=BC﹣BD=﹣x．

∴， ∴CE=x﹣．∴AE=AC﹣CE=1－（x﹣）=﹣x+1．即y=﹣x+1．

（3）【解析】
∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，

∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．

又∵△ABD∽△DCE，∴△ABD∽△DCE．∴CD=AB=1．∴BD=﹣1．∵BD=CE， ∴AE=AC﹣CE=2﹣．

当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．

∵∠ADE=45°， ∴此时有∠DEA=90°．

即△ADE为等腰直角三角形． ∴AE=DE=AC=．AE的长为2﹣或．

考点：三角形相似的判定与应用、二次函数的应用.