Question

（本题10分）已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．

（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；

（2）证明：PE=PF；

Answer

（1）CD=8；（2）见解析.

【解析】

试题分析：连接OD，根据垂径定理可得：OB=4，OD=8，根据Rt△OBD的勾股定理求出BD的长度，然后求出CD的长度；（2）根据切线性质可得∠PEO=90°，根据OA=OE得出∠A=∠AEO，根据∠PEF=90°－∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°－∠A得出∠PEF=∠PFE，从而得出PE=PF.

试题解析：（1）连接OD，∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，

∴OB=OA=4，BC=BD=CD， ∴在Rt△OBD中，BD==4， ∴CD=2BD=8；

（2）∵PE是⊙O的切线， ∴∠PEO=90°，

∴∠PEF=90°﹣∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°﹣∠A，

∵OE=OA， ∴∠A=∠AEO， ∴∠PEF=∠PFE， ∴PE=PF；

考点：垂径定理、等腰三角形的判定.