Question

如图（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）．［图（2）为解答备用图］

（1）__________，点A的坐标为___________，点B的坐标为__________；

（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1） k=-3，A（-1，0），B（3，0）；（2）9;（3） ．

【解析】

试题分析：（1）将C点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出k的值；令抛物线的解析式中y=0，即可求出A、B的坐标；

（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可求出M点的坐标；由于四边形ACMB不规则，可连接OM，将四边形ACMB的面积转化为△ACO、△MOC以及△MOB的面积和；

（3）当D点位于第三象限时四边形ABCD的最大面积显然要小于当D位于第四象限时四边形ABDC的最大面积，因此本题直接考虑点D为与第四象限时的情况即可；设出点D的横坐标，根据抛物线的解析式即可得到其纵坐标；可参照（2）题的方法求解，连接OD，分别表示出△ACO、△DOC以及△DOB的面积，它们的面积和即为四边形ABDC的面积，由此可得到关于四边形ABDC的面积与D点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABDC的最大面积及对应的D点坐标．

试题解析：（1）由于点C在抛物线的图象上，则有：k=-3；

∴y=x2-2x-3；

令y=0，则x2-2x-3=0，

解得x=-1，x=3，

∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）抛物线的顶点为M（1，-4），连接OM；

则△AOC的面积=AO•OC=×1×3=，

△MOC的面积=OC•|xM|=×3×1=，

△MOB的面积=OB•|yM|=×3×4=6；

∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9；

（3）设D（m，m2-2m-3），连接OD；

则0＜m＜3，m2-2m-3＜0；

且△AOC的面积=，△DOC的面积=m，△DOB的面积=-（m2-2m-3）；

∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积

=-m2+m+6=-（m-）2+；

∴存在点D（，-），使四边形ABDC的面积最大，且最大值为．

考点：二次函数综合题．