Question

如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．

（1）请完成如下操作：

①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD．（此小问为了解问，可不做）

（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：

①写出点的坐标：C            、D               ；

②⊙D的半径=                 （结果保留根号）；

③若E（7,0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．

Answer

（1）作图见解析；（2）C（6，2），D（2，0）；2；CE与圆D相切．

【解析】

试题分析：（1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦AB的垂直平分线，以及BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心D，连接AD，CD；

（2）①根据第一问画出的图形即可得出C及D的坐标；

②在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆O的半径；

③直线CE与圆O的位置关系是相切，理由为：由圆的半径得出DC的长，在直角三角形CEF中，由CF及FE的长，利用勾股定理求出CE的长，再由DE的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形DCE为直角三角形，即EC垂直于DC，可得出直线CE为圆O的切线．

试题解析：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示：

（2）①根据图形得：C（6，2），D（2，0）；

②在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，

根据勾股定理得：AD=

=2，

则⊙D的半径为2；

③直线EC与⊙D的位置关系为相切，理由为：

在Rt△CEF中，CF=2，EF=1，

根据勾股定理得：CE=，

在△CDE中，CD=2，CE=，DE=5，

∵CE2+CD2=（）2+（2）2=5+20=25，DE2=25，

∴CE2+CD2=DE2，

∴△CDE为直角三角形，即∠DCE=90°，

∴CE⊥DC，

则CE与圆D相切．

考点：1．直线与圆的位置关系；2．坐标与图形性质；3．勾股定理；4．垂径定理．