Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6CM．点P，Q同时由B，A两点出发，分别沿射线BC，AC方向以1cm/s的速度匀速运动．

（1）几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半？

（2）连结BQ，几秒后△BPQ是等腰三角形？

Answer

（1）2秒或12秒时△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．（2）t=、12或14±4时，△BPQ是等腰三角形．

【解析】

试题分析：（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，当0＜x＜6时，当6＜x＜8时，当x＞8时，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；

（2）分别根据①当BP=BQ时，②当PQ=BQ时，③当BP=PQ时，利用勾股定理求出即可．

试题解析：（1）设运动x秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的一半，

当0＜x＜6时，

S△ABC=×AC•BC=×6×8=24，

即：×（8-x）×（6-x）=×24，

x2-14x+24=0，

（x-2）（x-12）=0，

x1=12（舍去），x2=2；

当6＜x＜8时，

×（8-x）×（x-6）=×24，

x2-14x+72=0，

b2-4ac=196-288=-92＜0，

∴此方程无实数根，

当x＞8时，

S△ABC=×AC•BC=×6×8=24，

即：×（x-8）×（x-6）=×24，

x2-14x+24=0，

（x-2）（x-12）=0，

x1=12，x2=2（舍去），

所以，当2秒或12秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．

（2）设t秒后△BPQ是等腰三角形，

①当BP=BQ时，t2=62+（8-t）2，

解得：t=；

②当PQ=BQ时，（6-t）2+（8-t）2=62+（8-t）2，

解得：t=12；

③当BP=PQ时，t2=（6-t）2+（8-t）2，

解得：t=14±4．

所以：当t=、12或14±4时，△BPQ是等腰三角形．

考点：一元二次方程的应用．