Question

（本题12分）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求弦BD的长；

（3）求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）见解析；（2）BD=6；（3）6π．

【解析】

试题分析：（1）连接OC交BD于点E，根据∠CDB=∠OBD=30°得出∠COB=60°，∠OEB=90°，根据AC∥BD得到∠OCA=90°；（2）根据OB=6，OE⊥BD，∠OEB=30°，求出OE和BE的长度，然后计算出BD的长度；（3）根据△OBE和△CDE全等，将阴影部分的面积转化成扇形OBC的面积，然后根据扇形的面积计算公式进行求解．

试题解析：（1）证明：连接OC，交BD于点E． ∵∠CDB=∠OBD=30° ∴∠COB=60°,∠OEB=90°

∵AC∥BD ∴∠OCA=∠OEB=90° ∴OC⊥AC ∴AC是⊙O的切线．

（2）∵∠OEB=90°,∠OBD=30° ∴OC⊥BD，

∴BE=DE= ∴

（3）∵OE=CE，∠OEB=∠CED=90°,BE=DE， ∴△OEB≌△CED

∴

考点：切线的判定、垂径定理、扇形的面积计算．