Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．

（1）求二次函数的解析式和B的坐标；

（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=2x2-2．（1，0）；（2）（m，），（m，2m-2）．（3）不存在满足条件的点Q．

【解析】

试题分析：（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，-2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为-2，即b=0，c=-2，再将A（-1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标；

（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标；

（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2-2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分两种情况讨论：①P（m，）；②P（m，2（m-1））．都根据BD=PE，DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，-2），

∴b=0，c=-2；

∵y=ax2+bx+c过点A（-1，0），

∴0=a+0-2，a=2，

∴抛物线的解析式为y=2x2-2．

当y=0时，2x2-2=0，

解得x=±1，

∴点B的坐标为（1，0）；

（2）设P（m，n）．

∵∠PDB=∠BOC=90°，

∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：

①若△OCB∽△DBP，则，

即，

解得n=．

由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，

∴此时点P坐标为（m，）或（m，）（舍）；

②若△OCB∽△DPB，则，

即

解得n=2m-2．

由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，

∴此时点P坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m），

∵P在第一象限，m＞1，

∴（m，2m-2）或（m，2-2m）舍

综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，2m-2）．

（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2-2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．如图，过点Q作QE⊥l于点E．

∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，

∴∠DBP=∠QPE．

在△DBP与△EPQ中，

，

∴△DBP≌△EPQ，

∴BD=PE，DP=EQ．

分两种情况：

①当P（m，）时，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2-2），

∴，

解得，（均不合题意舍去）；

②当P（m，2（m-1））时，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2-2），

∴，

解得，（均不合题意舍去）；

综上所述，不存在满足条件的点Q．

考点：二次函数综合题．