Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（3，5），以AB为边作如图所示的正方形ABCD，顶点在坐标原点的抛物线恰好经过点D，P为抛物线上的一动点．

（1）直接写出点D的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差；

（4）当点P位于何处时，△APB的周长有最小值，并求出△APB的周长的最小值．

Answer

（1）D（-4，4）；（2）y=x2（3）1；（4）11.

【解析】

试题分析：（1）设D点的坐标为（x，y），过A点作x的平行线l，过B点作BE⊥l于E点，过D点作DF⊥l于F点，根据点A（0，1）和B（3，5）可以求出AE、BE的长，然后再证明Rt△AEB≌Rt△DFA，求出AF和DF的长，进而求出D点的坐标．

（2）设抛物线解析式为y=ax2，把D点坐标代入求出a的值，进而求出抛物线解析式；

（3）设P点坐标为（x，x2），分别求出P点到A点的距离和到x轴的距离，求出两距离之差即可；

（4）作A点关于x轴的对称点A′，过A′作x轴的平行线m，过B点作BE⊥直线m交于点E，P′点就是△APB的周长有最小值时P点的位置，首先证明P′A=P′E，然后P′坐标，进而求出△APB的周长有最小值．

试题解析：（1）设D点的坐标为（x，y），过A点作x的平行线l，过B点作BE⊥l于E点，过D点作DF⊥l于F点，

∵B点坐标为（3，5）、A点坐标为（0，1），

∴AE=3，BE=4，

∵正方形ABCD，

∴AD=AB，

∵∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠FAD，

在Rt△AEB和Rt△DFA中，

，

∴在Rt△AEB和Rt△DFA中，

∴AF=BE=4，DF=AE=3，

∴D点的坐标为（-4，4）；

（2）设抛物线解析式为y=ax2，抛物线经过点D坐标（-4，4），

即4=16a，解得a=，

因此，所求抛物线解析式为y=x2

（3）设P点坐标为（x，x2），A点坐标为（0，1），

|PA|=，

点P到x轴的距离d=x2

点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差=|PA|-d=x2+1-x2=1；

（4）作A点关于x轴的对称点A′，过A′作x轴的平行线m，过B点作BE⊥直线m交于点E，P′点就是△APB的周长有最小值时P点的位置，

∵A点坐标为（0，1），

∴A′点坐标为（0，-1），

首先证明P′A=P′E，

设P′点坐标为（x，y），

|P′A|=，|P′E|=|y+1|，

于是证明出P′A=P′E，

而点P'在抛物线上，且其横坐标为3，

∴点P'坐标为（3，）；由于两点之间线段最短，那么此时△APB的周长最短；

因此，当点P为（3，）时，△APB的周长值最小，且为L=|AB|+|AP|+|BP|=|AB|+|BE|=5+6=11．

考点：二次函数综合题．