Question

已知如图1，Rt△ABC和Rt△ADE的直角边AC和AE重叠在一起，AD=AE，∠B=30°，∠DAE=∠ACB=90°.

（1）如图1，填空：∠BAD=        ；=           ；

（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，使AE到AB边上，∠ACH=∠BCH，连接BH，求∠CBH的度数；

（3）如图3，点P是BE上一点，过A、E两点分别作AN⊥PC、EM⊥PC，垂足分别为N、M，若EM=2，AN=5，求△AND的面积．

Answer

（1）150°，（2）15°；（3）．

【解析】

试题分析：（1）如图1，由三角形内角和定理求得∠BAC=60°，则∠BAD=∠BAC+90°=150°；把BC、CD的长度均以AC表示，通过约分可以求得的值；

（2）如图2，连接CE、AH．先证等边△ACE得AE=AC，∠AEC=∠ACE=60°．而∠AEH=∠ACH=45°，易推知∠HEC=∠HCE=15°，所以HE=HC．再证△AEH≌△ACH（SAS），由AH平分∠BAC、CH平分∠ACB，得到BH平分∠ABC，则∠CBH=15°；

（3）如图3，过点E作EF⊥AN于点F，过点D作DG⊥AN于点G，可得矩形MEFN．可证△AEF≌△DAG．则DG=AF=AN-EM=5-2=3．所以S△AND=AN•DG=×5×3=．

试题解析：（1）如图1，．（2）

∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=60°．

又∵∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠BAC+90°=150°；

在Rt△ABC中，BC=AC•tan60°=AC．

在Rt△ADE中，AD=AC，则CD=AC，

∴．

（2）如图2，连接CE、AH．

∵AC=AE，∠CAE=60°，

∴△ACE是等边三角形，

∴AE=AC，∠AEC=∠ACE=60°．

由∵∠AEH=∠ACH=45°，

∴∠HEC=∠HCE=15°，

∴HE=HC．

在△AEH与△ACH中，

，

∴△AEH≌△ACH（SAS），

∴∠EAH=∠CAH，即AH平分∠BAC．

又∵∠ACH=∠BCH，即CH平分∠ACB，

∴BH平分∠ABC，则∠CBH=15°；

（3）如图3，过点E作EF⊥AN于点F，过点D作DG⊥AN于点G．

∵AN⊥PC、EM⊥PC，

∴四边形MEFN是矩形．可证△AEF≌△DAG．

∴DG=AF=AN-EM=5-2=3．

∴S△AND=AN•DG=×5×3=．

考点：几何变换综合题．