Question

（本题满分12分）

【问题背景】

已知：l₁∥l₂∥l₃∥l₄，平行线l₁与l₂、l₂与l₃、l₃与l₄之间的距离分别为d₁、d₂、d₃，且d₁=d₃=1，d₂=2．我们把四个顶点分别在l₁、l₂、l₃、l₄这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．

【问题探究】

（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为_  _．

（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．

【问题拓展】

（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l₁于点E，分别交l₂，l₄于点F，G．将∠AEG绕点A顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l₃上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l₂，l₄上，求菱形AB′C′D′的边长．

Answer

（1）；（2）或；（3）．

【解析】

试题分析：（1）证明∴△AED≌△DGC，得出CG=ED=3，AE=DG=1，由勾股定理得到正方形的边长AD；

（2）过B作BE⊥l1于点E，反向延长BE交l4于点F，则BE=1，BF=3，可以证明△AEB∽△BFC，分AB是较短的边和AB是长边两种情况讨论；

（3）过点E作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N，由题意得∠OAE=30°，则∠ED′N=60°，由图1知，△AED≌△DGC，得到AE=DG=1，进一步得到EO，EN，ED′的长，由勾股定理可求出菱形的边长．

试题解析：（1）∵ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠ADE+∠CDG=90°，∵∠AED=90°，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠CDG，∵∠AED=∠DGC=90°，∴△AED≌△DGC，∴CG=ED=3，AE=DG=1，∴AD=，∴正方形的边长是；

（2）过B作BE⊥l1于点E，反向延长BE交l4于点F，则BE=1，BF=3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°，又∵直角△ABE中，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠FBC=∠EAB，∴△AEB∽△BFC，当AB是较短的边时，如图（a），AB=BC，则AE=BF=，在直角△ABE中，AB==；

当AB是长边时，如图（b），同理可得：BC=；故答案为：或；

（3）过点E作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N，由题意得∠OAE=30°，则∠ED′N=60°，由图1知，△AED≌△DGC，∴AE=DG=1，故EO=，EN=，ED′=，由勾股定理可知菱形的边长为：===．

考点：四边形综合题．