Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．

（1）若ED＝BE，求∠F的度数：

（2）设线段OC＝a，求线段BE和EF的长（用含a的代数式表示）；

（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．

Answer

（1）30°；（2）EF=；（3）CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．

【解析】

试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；

（2）首先证明△HBO≌△COD（AAS），进而利用△COD∽△CBF，得出比例式求出EF的长；

（3）分别利用①当PB=PE，不合题意舍去；②当BE=EP，③当BE=BP，求出即可．

试题解析：（1）如图1，连接EO，

∵

∴∠BOE=∠EOD，

∵DO∥BF，

∴∠DOE=∠BEO，

∵BO=EO，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，

∵CF⊥AB，

∴∠FCB=90°，

∴∠F=30°；

（2）如图1，作HO⊥BE，垂足为H，

∵在△HBO和△COD中

，

∴△HBO≌△COD（AAS），

∴CO=BH=a，

∴BE=2a，

∵DO∥BF，

∴△COD∽△CBF，

∴

∴，

∴EF=；

（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，

∴∠COD=∠DOE，

∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，

若△PEB为等腰三角形，设CO=x，∴OP=OC=x，则PE=EO-OP=4-x，

由（2）得：BE=2x，

①当PB=PE，不合题意舍去；

②当BE=EP，2x=4-x，解得：x=，

③当BE=BP，作BM⊥EO，垂足为M，

∴EM=PE=，

∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，

∴△BEM∽△DOC，

∴，

∴，

整理得：x2+x-4=0，

解得：x=（负数舍去），

综上所述：当CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．

考点：圆的综合题．