Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若DC=4，AC=5，求⊙O的直径的AE．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据OA=OC推出∠OCA=∠OAC，根据角平分线得出∠OCA=∠OAC=∠CAP，推出OC∥AP，得出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；

（2）过O作OM⊥AB于M，得出矩形OMDC，推出OM=CD，OC=AM+AD，求出AM的长，利用勾股定理求出AD的长，设圆的半径为x，则AM=x-AD，再根据勾股定理列方程，求出x的值即可求出⊙O的半径，从而求出⊙O的直径的AE．

试题解析：（1）证明：连接OC．

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA．

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC．

∵CD⊥PA，

∴∠ADC=∠OCD=90°，

即 CD⊥OC，点C在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线．

（2）【解析】
过O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，

∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，

∴四边形DMOC是矩形，

∴OC=DM，OM=CD=4．

∵DC=4，AC=5，

∴AD=3，

设圆的半径为x，则AM=x-AD=x-3，

∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根据勾股定理得：AO2=AM2+OM2．

∴x2=（x-3）2+42，

∴x=

∴⊙O的半径是，

∴⊙O的直径的AE=2×=．

考点：1.切线的判定；2.角平分线的性质；3.圆周角定理；4.相似三角形的判定与性质．