Question

（10分）如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A、D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）求证：直线BD与⊙O相切；

（2）若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径．

Answer

（1）见解析 （2）直径为5．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，根据△AOD为等腰三角形可得∠A=∠ODA，根据∠A+∠CDB=90°可得∠ODA+∠CDB=90°，从而得出∠BDO=90°；（2）连接OE，根据直径所对的圆周角为直角得出∠ADE=90°，根据D为中点可得E为AB的中点，根据△ADE和△ACB相似可得AC：AB=4:5，然后求出BC的长度，从而得出直径的长度．

试题解析：（1）证明：连接OD，在△AOD中，OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA，

又∵∠A＋∠CDB＝90° ∴∠ODA＋∠CDB＝90°， ∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD，

∴BD与⊙O相切．

（2）【解析】
连接DE，∵AE是⊙O的直径， ∴∠ADE＝90°， ∴DE∥BC．

又∵D是AC的中点，∴AE＝BE． ∴△AED∽△ABC．

∴AC∶AB＝AD∶AE． ∵AD：AE=4:5 ∴AC∶AB＝4∶5，

令AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x． ∵BC＝6，∴AB＝10，

∴AE＝5，∴⊙O的直径为5．

考点：切线的判定、三角形相似的应用．