Question

探究发现：

如图1，△ABC是等边三角形，点E在直线BC上，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；

数学思考：某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：

当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC延长线”；“点E在线段BC反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．

拓展应用：当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出的值．

 

Answer

证明见试题解析，．

【解析】

试题分析：根据等边三角形的性质，可得AB=BC，∠B=∠ACB=60°，根据三角形外角的性质，可得∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE，根据ASA，可得△AGE≌△ECF，根据全等三角形的性质，可得结论；

根据等边三角形的判定，可得△AEF是等边三角形，根据等边三角形相似，可得△ABC与△AEF的关系，根据等腰三角形的性质，可得AC与AH的关系，AC与AE的关系，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案．

试题解析：如图一，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，

∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分线，∴∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．在△AGE和△ECF中，∵∠GAE=∠CEF，AG=EC，∠AGE=∠ECF，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；

拓展应用：如图二：

∵△ABC是等边三角形，BC=CE，∴CE=BC=AC，∴∠CAH=30°，作CH⊥AE于H点，∴∠AHC=90°．∴CH=AC，AH=AC，∵AC=CE，CH⊥AE，∴AE=2AH=AC，∴，由数学思考得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴△ABC ∽△AEF，∴===．

考点：1．相似形综合题；2．全等三角形的判定与性质．