Question

（10分）已知：在△ABC中，∠CAB=2，且0°<<30°，AP平分∠CAB. 

如图,若=21°∠ABC=32°,且AP交BC于点P,试探究线段AB,AC与PB之间的数量关系,并对你的结论加以证明（1）写出线段AB,AC与PB之间有怎样的数量关系

（2）证明上面的结论

Answer

解（1）AB-AC=PB

（2）证明：在AB上截取AD，使AD=AC

∵AP平分∠CAB，

∴∠1=∠2.

在△ACP和△ADP中

∴△ACP≌△ADP

∴∠C=∠3.

∵在△ABC中, ∠CAB=2=2×21°=42°, ∠ABC=32°

∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-42°-32°=106°

∴∠3=106°

∴∠4=180°-∠3=180°-106°=74°

∴∠5=∠3-∠ABC=106°-32°=74°

∴∠4=∠5

∴PB=DB

∴AB-AC=AB-AD=DB=PB

【解析】

试题分析：（1）可得结论：AB-AC=PB；（2）在AB上截取AD，使AD=AC，根据已知条件可证△ACP≌△ADP，可得∠C=∠3， 根据三角形内角和定理可求出∠C的度数，即可得出∠3的度数，根据平角定义可求得∠4，根据三角形的外角性质求出∠5，即可得出∠4=∠5，可得PB=DB，即可得出结论.

考点：全等三角形的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定.