Question

如图所示，点在的直径的延长线上，点在上，且，∠°.

（1）求证：是的切线；

（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积.

Answer

（1）证明见解析；（2）2-

【解析】

试题分析：（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；

（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．

试题解析：（1）证明：连接OC．

∵AC=CD，∠ACD=120°，

∴∠A=∠D=30°．

∵OA=OC，

∴∠2=∠A=30°．

∴∠OCD=180°-∠A-∠D-∠2=90°．

∴CD是⊙O的切线．

（2）【解析】
∵∠A=30°，

∴∠1=2∠A=60°．

∴S扇形BOC=．

在Rt△OCD中，

∵，

∴CD=2．

∴S△OCD=OC×CD=×2×2=2．

∴图中阴影部分的面积为：2-

考点：扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值．