Question

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

Answer

（1）△BPQ是等边三角形；（2）S=-t2+3t；（3）当t=时，△APR∽△PRQ．

【解析】

试题分析：（1）当t=2时，可分别计算出BP、BQ的长，再对△BPQ的形状进行判断；

（2）∠B为60°特殊角，过Q作QE⊥AB，垂足为E，则BQ、BP、高EQ的长可用t表示，S与t的函数关系式也可求；

（3）由题目线段的长度可证得△CRQ为等边三角形，进而得出四边形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．

试题解析：（1）△BPQ是等边三角形

当t=2时

AP=2×1=2，BQ=2×2=4

∴BP=AB-AP=6-2=4

∴BQ=BP

又∵∠B=60°

∴△BPQ是等边三角形；

（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E

由QB=2t，得QE=2t•sin60°=

由AP=t，得PB=6-t

∴S△BPQ=×BP×QE=（6-t）×=-t2+3t

∴S=-t2+3t

（3）∵QR∥BA

∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°

∴△QRC是等边三角形

∴QR=RC=QC=6-2t

∵BE=BQ•cos60°=×2t=t

∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t

∴EP∥QR，EP=QR

∴四边形EPRQ是平行四边形

∴PR=EQ=

又∵∠PEQ=90°，

∴∠APR=∠PRQ=90°

∵△APR∽△PRQ，

∴∠QPR=∠A=60°

∴tan60°=

即

解得t=

∴当t=时，△APR∽△PRQ．

考点：1．相似三角形的性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的性质；4．解直角三角形．