Question

（8分）（2014•昆明）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）

Answer

（1）见解析 （2）2﹣

【解析】

试题分析：（1）由OD=OB得∠1=∠ODB，则根据三角形外角性质得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A，由于∠A+∠C=90°，所以∠DOC+∠C=90°，则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；

（2）【解析】
由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=OD=2，然后利用阴影部分的面积=S△COD﹣S扇形DOE

和扇形的面积公式求解．

（1）证明：∵OD=OB，

∴∠1=∠ODB，

∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，

而∠A=2∠1，

∴∠DOC=∠A，

∵∠A+∠C=90°，

∴∠DOC+∠C=90°，

∴OD⊥DC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵∠A=60°，

∴∠C=30°，∠DOC=60°，

在Rt△DOC中，OD=2，

∴CD=OD=2，

∴阴影部分的面积=S△COD﹣S扇形DOE

=×2×2﹣

=2﹣．