Question

（7分）（2014•云南）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．

（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；

（2）求证：BD=MN．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AD与BC的关系，根据MD与NC的关系，可得证明结论；

（2）根据根据等边三角形的判定与性质，可得∠DNC的度数，根据三角形外角的性质，可得∠DBC的度数，根据正切函数，可得答案．

证明：（1）∵ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∵M、N分别是AD、BC的中点，

∴MD=NC，MD∥NC，

∴MNCD是平行四边形；

（2）如图：连接ND，

∵MNCD是平行四边形，

∴MN=DC．

∵N是BC的中点，

∴BN=CN，

∵BC=2CD，∠C=60°，

∴△NCD是等边三角形．

∴ND=NC，∠DNC=60°．

∵∠DNC是△BND的外角，

∴∠NBD+∠NDB=∠DNC，

∵DN=NC=NB，

∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°，

∴∠BDC=90°．

∵tan，

∴DB=DC=MN．