Question

已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（  ）

A.    B.1    C.    D.a

Answer

B

【解析】

试题分析：此题可通过证△EAC≌△OAB，得AE=OA，从而求出EA的长；

△EAC和△OAB中，已知的条件只有AB=AC；由AB=BD，得=，可得∠AED=∠AOB；

四边形ABDE内角于⊙O，则∠EAB+∠D=180°，即∠EAC=180°﹣60°﹣∠D=120°﹣∠D；而∠ECA=180°﹣∠ACB﹣∠BCD=120°﹣∠BCD，上述两个式子中，由BD=AB=BC，易证得∠D=∠BCD，则∠ECA=∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而两个等腰三角形的顶角相等，且底边AC=AB，易证得两个三角形全等，由此得解．

【解析】
∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；

∵AB=BD，

∴，

∴∠AED=∠AOB；

∵BC=AB=BD，

∴∠D=∠BCD；

∵四边形EABD内接于⊙O，

∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；

又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，

∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；

在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，

∵AC=AB，

∴△EAC≌△OAB；

∴AE=OA=1．

故选B．