Question

有一批圆心角为90°，半径为1的扇形状下脚料，现利用这批材料截取尽可能大的正方形材料，如图有两种截取方法：方法1，如图（1）所示，正方形OPQR的顶点P、Q、R均在扇形边界上；方法2，如图（2）所示，正方形顶点C、D、E、F均在扇形边界上．图（1）、图（2）均为轴对称图形．试分别求这两种截取方法得到的正方形面积．并说明哪种截取方法得到的正方形面积更大？

Answer

第一种方法截取的正方形的面积最大

【解析】

试题分析：根据题意画出图形，分别连接PQ和过O作OG⊥DE，交CF于点H，连接OF，构造直角三角形求得正方形的边长，求得正方形的面积后比较即可．由于正方形内接于扇形，故应分两种情况进行讨论．

【解析】
如图1所示：

连接OQ，设正方形OPQR的边长为x，

则在Rt△OPQ中，

OQ2=OP2+PQ2，即12=x2+x2，

解得x=，

∴S四边形OPQR=；

如图2所示，

过O作OG⊥EF，交CD于点H，连接OF，

设FG=x，

∵四边形CDEF是正方形，

∴OH⊥CD，

∴FG=CH=x，

∵∠DOC=90°，H为CD中点，

∴CH=OH，

∴OG=OH+HG=HC+CF=x+2x=3x，

在Rt△OFG中，

OF2=GF2+OG2，即12=x2+（3x）2，

解得x=，

∴CF=2x=．

∴S四边形CDEF=，

∵＞，

∴第一种方法截取的正方形的面积最大．