Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）求证：四边形ABEF是菱形．

Answer

证明：（1）∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，

∴∠BAC=∠DAE=40°，

∴∠BAD=∠CAE=100°，

又∵AB=AC，

∴AB=AC=AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

（2）证明：∵∠CAE=100°，AC=AE，

∴∠ACE=（180°-∠CAE）=（180°-100°）=40°；

∵∠BAD=∠CAE=100°，AB=AC=AD=AE，

∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，

∴∠BFE=360°-∠BAE-∠ABD-∠AEC=140°，

∴∠BAE=∠BFE，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∵AB=AE，

∴平行四边形ABFE是菱形．

【解析】

试题分析：（1）根据旋转可得∠BAC=∠DAE=40°，即可得出∠BAD=∠CAE，利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．（2）根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得结论．

考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质；等腰三角形的性质.