Question

（本题满分12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且D点的横坐标是它的纵坐标的2倍．

（1）求边AB的长；

（2）求反比例函数的解析式和n的值；

（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

Answer

（1）BA＝2；（2）反比例函数的关系式为y＝， n＝；（3）OG＝．

【解析】

（1）∵E（4，n），∴OA＝4，∵D点的横坐标是它的纵坐标的2倍，∴BA：OA＝1：2，即BA：4＝1：2，∴BA＝2；

（2）∵OA＝4，AB＝2，∴B（4，2），∵点D为OB的中点，∴D（2，1），∵点D在反比例函数的图象上，

∴1＝，即k＝2，∴反比例函数的关系式为y＝，∵E（4，n）在反比例函数的图象上，∴n＝；

（3）∵B（4，2）且BC∥x轴，∴点F的纵坐标等于2，∵点F也在反比例函数的图象上，∴F（1，2）．∴CF＝1，连接GF，则OG＝GF＝x，则OC＝2，CF2＝GF2，在Rt△GCF中，CG2＋CF2＝GF2，即（2－x）2＋12＝x2，解得x＝，∴x＝，∴OG＝．

考点：反比例函数综合题．