Question

（本题满分分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．

（1）求证：AD⊥DC；

（2）若AD＝2，AC＝，求AB的长．

Answer

（1）证明：连接OC∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD．

（2）AB＝2．5．

【解析】

（1）证明：连接OC∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD．

（2）【解析】
连接BC，则∠ACB＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，又∵∠DAC＝∠OAC，∴△ADC∽△ACB，∴，则，解得：AB＝2．5．

考点：切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．