Question

（2014•深圳）已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，

（1）证明四边形ABDF是平行四边形；

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．

Answer

（1）证明：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC，

在△ADB与△CDB中，，∴△ADB≌△CDB（SSS）∴∠BCD=∠BAD，

∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF，∴AB∥FD，

∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD，∴四边形ABDF是平行四边形，

（2）【解析】
∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，∴▱ABDF是菱形，∴AB=BD=5，

∵AD=6，设BE=x，则DE=5﹣x，

∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2

解得：x=，

∴=，

∴AC=2AE=．

【解析】

试题分析：（1）先证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得．（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．

考点：平行四边形的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理．