Question

（13分）如图，等腰△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为（，3），点B的坐标为（-6，0）.

（1）若△OAB关于y轴的轴对称图形是三角形OA′B′，请直接写出A、B的对称点A′、B′的坐标；

（2）若将三角形OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数 的图像上，求a的值；

（3）若△OAB绕点O按逆时针方向旋转α度（0＜α＜90）．

①当α=30°时点B恰好落在反比例函数 的图象上，求k的值；

②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，求出α的值；若不能，请说明理由．  

Answer

（1）由于△OAB关于y轴的轴对称图形是△OA'B'，所以A、A′关于y轴对称，B、B′关于y轴对称；已知：点A的坐标为（，3），点B的坐标为（﹣6，0），故：A′（，3），B'（6，0）．

（2）设点A平移后落在双曲线上时，坐标为A′（m，n），∵A（，3），由已知得n=3，

代入，求得m＝；∴平移的距离a＝|﹣（）|＝；

（3）①B′的纵坐标是：﹣6sinα＝－6×sin30°＝－3，横坐标是：－6cosα＝－6cos30°＝﹣3，B′的坐标是：（，﹣3）∴k＝×（﹣3）＝；

②∵点A坐标为（，3），∴OA＝6，∴OA＝OB＝6，∴tan∠AOB＝，∴∠AOB=30°，当∠BOA″＝30°时，则∠BOB″＝60°，A″的坐标为（，﹣3），B″的坐标为（﹣3，），∴此时点A、B能同时落在①中的反比例函数的图象上；同理：α＝240°也符合题意；∴α＝60°或240°．

【解析】

（1）若△OAB、△OA′B′关于y轴对称，那么A、A′以及B、B′都关于y轴对称，可据此得到A′、B′的坐标；（2）根据点A坐标为（，3），将△OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数的图象上，则平移以后点的纵坐标是3，把y=3代入解析式就可以得到A点平移后的点的横坐标，得到a的值；（3） △OAB绕点O按逆时针方向旋转30度，就可以求出旋转后点的坐标，代入反比例函数的解析式，就可以求出k的值．

考点：旋转的性质；待定系数法求反比例函数解析式．