Question

（12分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

Answer

【解析】
（1）如图（1），

∵OD⊥BC，

∴BD=BC=，

∴OD==；

（2）如图（2），

存在，DE是不变的．

连接AB，则AB==，

∵D和E分别是线段BC和AC的中点，

∴DE=AB=；

（3）如图（3），

连接OC，

∵BD=x，

∴OD=，

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠2+∠3=45°，

过D作DF⊥OE．

∴DF=，由（2）已知DE=，

∴在Rt△DEF中，EF==，

∴OE=OF+EF=

∴y=DF•OE=

【解析】试题分析：（1）根据OD⊥BC可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长；

（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再根据D和E是中点可得出DE=；

（3）由BD=x，可知OD=，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，DF=，EF=即可得出结论

考点：垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理