Question

（14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=．

（1）如图，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，

①求证：△AEP∽△ABC

②设AP=x，求MP的长 （用含x的代数式表示）

（2）若△AME∽△ENB，求AP的长．

Answer

（1）①证明：在直角三角形APE和直角三角形ACB中，

,

又=

所以△AEP∽△ABC

②在直角三角形ACB中，由勾股定理得AC=

∴

在直角三角形APE中，

∴

设AP=x

则

在直角三角形EMP中，

即

∴

由勾股定理得

（2）①当点E在AC上时，如图2，

设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a，

∵△AEP∽△ABC，

∴，

∴，

∴AP=16a，

∴AM=11a，

∴BN=50﹣16a﹣5a=50﹣21a，

∵△AME∽△ENB，

∴，

∴=，

∴a=，

∴AP=16×=22，

②当点E在BC上时，如图（备用图），

设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a，

∵△EBP∽△ABC，

∴=，

即=，

解得BP=9a，

∴BN=9a﹣5a=4a，AM=50﹣9a﹣5a=50﹣14a，

∵△AME∽△ENB，

∴，

即=，

解得a=，

∴AP=50﹣9a=50﹣9×=42．

所以AP的长为：22或42

【解析】

试题分析：（1）①在直角三角形APE和直角三角形ACB中， ,是公共角，由两角分别相等的三角形相似可得△AEP∽△ABC

②本题先在直角三角形ACB由勾股定理求出AC=40，得出又在直角三角形APE中，因此设AP=x,则可表示出EP，再由可表示出ME，进而由勾股定理表示出MP本题先根据EN=EM, ，设出EP的值，从而得出EM和PM的值

（2）本题需先设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分①点E在AC上时，根据△AEP∽△ABC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长；②点E在BC上时，根据△EBP∽△ABCC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形