Question

(9分) 已知如图在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，E为AC中点， 连结ED并延长交CB的延长线于F

（1）求证：△CDF∽△DBF；

（2）若AC=4,BC=3,求BD及；

Answer

（1）证明：∵CD⊥AB于D，

∴∠BCD=∠A，

∵E是AC的中点，∴AE=ED，∴∠A=∠EDA=∠FDB，

∴∠FDB=∠FCD，

又∠F=∠F，

∴△CDF∽△DBF．

（2）AC=4，BC=3，

∴AB=5，CD=．

又△BCD∽△BAC，

∴，

∴BD=

由（1）得：

【解析】

试题分析：（1）根据同角的余角相等得到∠A=∠BCD，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及对顶角相等进行等量代换得到∠FCD=∠FDB，另外有一个公共角，可以证明两三角形相似．（2）根据相似三角形对应线段的比相等，可以求出BD的长和的值

考点：相似三角形的判定与性质；三角形的重心