Question

(本题满分15分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ．点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=     ，PD=     ；

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；                                            

Answer

【解析】
（1）QB=12-2t，PD=t。

∵PD∥BC，当PD=BQ时四边形PDBQ为平行四边形，

即12-2t=t，解得：t=(秒)（或t=3.6秒）

∴存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形。

∵t=3.6时，BQ=PD=t=4.8，由△ABC∽△ADP，∴AD=t=6，BD=15-6=9,

∴BD≠PD，∴不存在t使四边形PDBQ为菱形。

设点Q的速度为每秒个单位长度

则，，

要使四边形PDBQ为菱形，则

当时，即，解得：

当，时，即，解得：

∴当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形

【解析】

试题分析：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，PD∥BC，即可得tanA=，则可求得QB与PD的值；（2）由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，据此列出方程，解得即可；（3）利用（2）中所求，即可求得此时DP与BD的长，由BD≠PD，可判定▱PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案．

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．