Question

如图，BC为⊙O的直径，以BC为直角边作Rt△ABC，∠ACB=90°，斜边AB与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥BC于点F，交⊙O于点G．

（1）求证：AE=CE；

（2）若AD=4，AE=，求DG的长．

Answer

（1）证明：连结CD，

∵BC为⊙O的直径，∠ACB=90°，

∴AC是⊙O的切线.

又∵DE与⊙O相切，

∴ED=EC

∴∠1=∠3.

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC=90°.

∵∠1+∠2=∠3+∠A=90°,

∴∠A=∠2.

∴ED=EA.

∴AE=CE.

（2）解：∵AE=,

∴AC=2AE=．

在Rt△ACD中，

∴

∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°,

∴∠A=∠4.

∴

∴

∵DG⊥BC于点F，

∴DG=2DF=．

【解析】

试题分析：（1）连结CD，根据切线的判定可得AC是⊙O的切线，根据切线长定理可得ED=EC ，可得∠1=∠3，由BC为⊙O的直径，可得∠BDC=90°，可推出∠A=∠2.，可得ED=EA，据此即可得出结论；（2）由（1）可求出AC的值，根据勾股定理可得CD的值，可得 ，根据DG⊥BC，可得DG=2DF，计算即可得出答案.

考点：圆周角定理；切线长定理；切线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；垂径定理.